Abstrakt: PLIK
Abstrakt: We study analytic and Borel subsets defined similarly to the old example of analytic complete set given by Luzin. Luzin's example, which is essentially a subset of the Baire space, is based on the natural partial order on naturals, i.e. division. It consists of sequences which contain increasing subsequence in given order. We consider a variety of sets defined in a similar way. Some of them occurs to be Borel subsets of the Baire space, while others are analytic complete, hence not Borel. In particular, we show that an analogon of Luzin example based on the natural linear order on rationals is analytic complete. We also characterize all countable linear orders having such property. The results were obtained together with Łukasz Mazurkiewicz and are published in [MZ] Ł. Mazurkiewicz, Sz. Żeberski, Sequences with increasing subsequence, Topology and its applications 356 (2024).
Abstrakt: PLIK
Abstrakt: Referat stanowi kontynuację referatu z poprzedniego tygodnia.
Abstrakt: Podczas referatu przedstawię wybrane własności mieszczące się pomiędzy posiadaniem bazy Schaudera a ośrodkowością, ich modyfikacje wykorzystujące ideały podzbiorów zbioru liczb naturalnych oraz wyniki dotyczące złożoności opisowej powiązanych z nimi klas przestrzeni Banacha.
Abstrakt: PLIK
Abstrakt: PLIK
Abstrakt: Tytułowe kryterium zastosuję do udowodnienia twierdzenia o zbieżności ciągu złożeń odwzorowań postaci (T_n o...o T_1), gdzie (T_n) jest ciągiem przekształceń przestrzeni metrycznej. To twierdzenie uogólnia m.in. wyniki A. Izzo (Proc. Amer. Math. Soc., 1999) oraz D. Levina, N. Dyn i V.P. Veedu (J. Fixed Point Theory Appl., 2019), a także pozwala uzyskać ogólniejszą wersję tzw. `fiber contraction theorem' otrzymanego przez M. Hirscha i C. Pugha, mającego zastosowania w geometrii różniczkowej. Z kolei rozszerzenie tytułowego kryterium na ciągi funkcyjne umożliwia wykazanie, że twierdzenie Hirscha-Pugha wynika z zasady Banacha poprzez dokonanie odpowiedniej remetryzacji, co obala hipotezę autorów, że nie zawsze jest to możliwe.
Abstrakt: By stworzyć graf Rado należy podejść do każdej pary wierzchołków i rzucić monetą. Jeśli wypadnie orzeł – kładziemy krawędź, jeśli wypadnie reszka, nie kładziemy krawędzi. Jeśli rzucaliśmy monetą symetryczną, to w wyniku takiej procedury dostaniemy graf, który nazywać będziemy grafem Rado. Formalnie, można powiedzieć, że prawie każdy graf, który objawi się jako wynik takiego losowanie jest izomorficzny z grafem Rado. Sytuacja jednak zmienia się diametralnie, gdy dla każdej pary wierzchołków losujemy inną monetą-tym razem niesymetryczną. Wraz z Jarkiem Swaczyną i Leonardem Coregliano scharakteryzowaliśmy dla jakich ciągów niesymetrycznych monet możemy znaleźć takie ich ustawienie, by w wyniku dostać graf Rado. Ciągi te nazwaliśmy ciągami Borela Cantellego. Powyższe obserwacje są punktem wyjścia do dalszych badań, które podjęliśmy w tym roku wraz z Ziemowitem Kostaną. Pokazaliśmy między innymi, że niektóre permutacje ciągów Borela-Cantellego dają z prawdopodobieństwem jeden inne grafy, niż graf Rado. Opisujemy całe rodziny grafów „losowalnych”, oraz to jakich grafów nie da się wylosować żadnym ciągiem monet. Praca nad tymi zagadnieniami jest w toku i jest naturalną kontynuacją przyjętego do druku artykułu: Leonardo N. Coregliano, Jarosław Swaczyna, Agnieszka Widz, How to get the random graph with non-uniform probabilities?, The Electronic Journal of Combinatorics.
Abstrakt: PLIK
Abstrakt: Podamy elementarny dowód reguły mnożników Lagrange'a przy wykorzystaniu funkcji kary i twierdzenia Weierstrassa. Wykorzystując wariant reguły mnożników Lagrange'a (twierdzenie Karusha-Kuhna-Tuckera) przedstawimy prosty dowód lematu o punkcie stałym Brouwera w przypadku potencjalnym wraz z szeregiem naturalnym konsekwencji - w tym z twierdzeniem o punkcie stałym na zbiorze niewypukłym. Referat zakończymy dowodem twierdzenia Schaudera oraz konstruktywną wersją dowodu twierdzenia Weierstrassa w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych.
Abstrakt: A function $f:X\to Y$ between metric spaces $X$ and $Y$ is called $F_\sigma$-measurable if the preimage $f^{-1}(V)$ of any open set $V\subseteq Y$ is an $F_\sigma$-set in $X$. The classical result of Kuratowski states that if $X$ is a metric space, $Y$ is a Polish space and $E\subseteq X$ is a $G_\delta$-set, then every $F_\sigma$-measurable function $f:E\to Y$ can be extended to an $F_\sigma$-measurable function $g:X\to Y$. In the talk we will discuss different ways of development and generalization of this theorem, in particular for continuous, Baire one, Darboux and other classes of functions.
Abstrakt: PLIK
Abstrakt: Chcąc badać relację izomorfizmu struktur ustalonego typu (np. relację izometrii zwartych przestrzeni metrycznych) musimy wpierw znaleźć sensowny sposób kodowania struktur w ramach jakiejś przestrzeni polskiej. Wydaje się, że dla ośrodkowych struktur metrycznych dobrym podejściem jest kodowanie ich z wykorzystaniem narzędzi logiki ciągłej [I. Ben Yaacov, M. Doucha, A. Nies, and T. Tsankov, Metric Scott analysis, Adv. Math. 318 (2017), 46–87.]. Pokażemy, że relacjom izomorfizmu na tak zdefiniowanych przestrzeniach kodów przysługują pewne pożądane własności.
Abstrakt: W trakcie referatu przedstawię wybrane własności funkcji wielowartościowych, które spełniają równanie funkcji addytywnej z dokładnością do stożka. Między innymi przedstawię charakteryzację ciągłych multifunkcji addytywnych "modulo stożek" zdefiniowanych na zbiorze liczb rzeczywistych.
Abstrakt: Na seminarium podam dwa wyniki charakteryzacje quasiwypukłość w klasie funkcji półciągłych z góry lub z dołu. Wnioskiem z uzyskanych wyników jest m.in. osłabienie założeń w twierdzeniu minimaksowym Siona z roku 1958.
Abstrakt: Z pracy [T. Banakh, A. Bartoszewicz, M. Filipczak, E. Szymonik, Topological and measure properties of some self-similar sets, Topol. Methods Nonlinear Anal., 46(2) (2015), 1013-1028] wynika, że zbiory osiągalne dla szeregów multigeometrycznych dla małych ilorazów są Cantorami. Dzieje się tak dla ilorazów $q Abstrakt: W 2020 r. Victor Kiss podał nową charakteryzację funkcji 1 klasy Baire'a działających z przestrzeni polskiej w przestrzeń polską. W artykule M. Balcerzak, T. Natkaniec, P. Szuca, Games characterizing certain families of functions, Archive Math. Logic (2024) pokazano inne gry podobnego typu, które charakteryzują pewne znane rodziny funkcji, np. mierzalnych w sensie Baire'a lub mierzalnych w sensie Lebesgue'a.
Abstrakt: Operator liniowy T:X\to X nazywa się upper frequently hypercyclic (UFHC) jeśli istnieje taki x, że dla dowolnego zbioru niepustego otwartego U zawartego w X, zbiór {n: T^nx\in U} ma (górną) gęstość Lebesugue'a dodatnią. Przez UFHC(T) oznaczmy zbiór wszystkich takich x. Wiadomo, że UFHC(T) jest rezydualny (czyli zawiera gęsty zbiór typu G_delta). Antonio Bonilla i Karl Grosse-Erdmann zadali pytanie, czy UFHC(T) jest zawsze typu G_delta. Pokażemy, że dla klasycznego operatora Rolewicza T:\ell_2\to\ell_2 danego wzorem T(x_1,x_2,x_3,...)=(2x_2,2x_3,2x_4,...) zbiór UFHC(T) nie jest F_\sigma\delta.
Abstrakt: Będę rozważał związki pomiędzy punktami skupienia i zbieżnością ciągów podwójnych - w sensie ideałowym i w sensie Pringsheima. Przedstawię wnioski o zbieżności jednostajnie Ramsey'a dla ciągów funkcji pierwszej klasy Baire'a.
Abstrakt: Podczas referatu przypomnę podstawy teorii Hutchinsona-Barnsleya oraz definicję zbioru σ-porowatego. Omówię istnienie atraktora dla IFS-ów złożonych ze słabych kontrakcji. Przedstawię także, jak duże (w sensie kategorii Baire’a) są rodziny wszystkich atraktorów (odpowiednio IFS-ów złożonych z kontrakcji i słabych kontrakcji). Referat bazuje na pracy Krzysztof Leśniak, Nina Snigireva & Filip Strobin (2020) Weakly contractive iterated function systems and beyond: a manual, Journal of Difference Equations and Applications, 26:8, 1114-1173, DOI: 10.1080/10236198.2020.1760258.
Abstrakt: Podczas referatu przedstawiona zostanie sylwetka profesora Michela Talagranda, który otrzymał w tym roku nagrodę Abela, oraz jego wybrane wyniki. Postaram się krótko omówić te prace, które zostały opublikowane w najbardziej prestiżowych czasopismach lub nawiązują do zainteresowań badawczych uczestników naszego seminarium. Abstrakt: Opowiem o mniej lub bardziej klasycznych własnościach rozróżniających nieprzeliczalne rodziny prawie rozłączne podzbiorów liczb naturalnych w kontekście ich nowych zastosowań do budowy struktur w analizie funcjonalnej. Te zastosowania będą opisane bez dowodów za to z pewnymi motywacjami.
Abstrakt: PLIK Abstrakt: Referat będzie stanowił kontynuację wystąpienia dra Jarosława Swaczyny z 11 marca (ale znajomość części 1 nie jest konieczna dla zrozumienia części 2). Omówimy możliwość wprowadzenia na ośrodkowej grupie metrycznej topologii polskiej, względem której działania nadal są ciągłe i która generuje te same zbiory borelowskie, co wyjściowa metryka. W szczególności opiszemy pewien warunek konieczny, który pozwala zdefiniować polishability rank - liczbę porządkową wskazującą na poziom skomplikowania grupy. Referat będzie oparty na artykule «S. Solecki, Polish group topologies, Sets and proofs (1999), 339–364, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 258.»
Abstrakt: PLIK Abstrakt: Referat poświęcony będzie wynikom S. Soleckiego, dotyczącym pytania o możliwość wprowadzenia na zadanej grupie topologii polskiej w sposób zgodny z topologią grupową, tj. tak, aby badana grupa stała się w ten sposób grupą topologiczną. Opowiem o dwóch możliwych sformułowaniach takiego pytania i omówię częściowe odpowiedzi na jedno z nich. Referat oparty będzie na artykule S. Solecki, Polish group topologies, Sets and proofs (Leeds, 1997), 339–364, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 258.
Abstrakt: PLIK Abstrakt: PLIK Abstrakt: PLIK Abstrakt: Porównam własności zbiorów osiągalnych i P-sum, wskazując kluczowe podobieństwa oraz różnice. Poruszę kwestię ich charakteryzacji topologicznej, centrum dystansów oraz wskażę płynące z tych rozważań wnioski. Referat okraszę kilkoma opowieściami, dotyczącymi owocnych dyskusji na temat P-sum z wyjazdów i konferencji oraz motywacją do ich badania. Abstrakt: Ważną rolę w badaniach dotyczących układów dynamicznych pełnią hipotezy Furstenberga oraz Palisa oraz pewne ich warianty. Nas będzie interesować następujący wariant hipotezy w stylu hipotezy Furstenberga: Dla wszystkich zbiorów Cantora C i C' (z pewnej klasy zbiorów Cantora) dimH(C+C)' = min{dimH(C)+dimH(C'),1}, gdzie dimH oznacza wymiar Hausdorffa. Często okazuje się, że w pełnej ogólności jest to nieprawda, ale poza pewnym niewielkim zbiorem wyjątków (np. przeliczalnym) już tak. Taka sytuacja występuje np. w przypadku środkowych zbiorów Cantora (zbiory Cantora, w którym w każdym kroku konstrukcji usuwane są przedziały środkowe o stosunku długości do wyjściowych przedziałów równym alfa dla alfa w (0,1)). Pokażemy, że w przypadku centralnych zbiorów Cantora (w każdym kroku alfa może być inna) już ta hipoteza nie jest prawdziwa. W szczególności istnieją centralne zbiory Cantora C i C' wymiaru Hausdorffa zero, takie, że C + C' = [0,2]. Ta część referatu opiera się na pracy: https://afm.journal.fi/article/view/126014 W drugiej części referatu zajmiemy się hipotezą Palisa, która mówiła o tym, że jeśli C i C' są zbiorami Cantora miary zero, to C+C' jest zbiorem Cantora miary zero lub jest przedziałem. Hipoteza okazała się nieprawdziwa. My pokażemy, że każdy zbiór wszystkich podsum szeregu bezwzględnie zbieżnego (tj. zbiór osiągalny) da się otrzymać jako suma algebraiczna dwóch zbiorów Cantora miary zero. Wyniki pochodzą z pracy wspólnej z Jackiem Marchwickim i Franciszkiem Prus-Wiśniowskim, której preprint jest dostępny na arXivie:arXiv:2309.01589 Abstrakt: We prove that if X is a T_1 second countable compact space, then X is a Baire space if and only if every nonempty open subset of X contains a closed subset with nonempty interior. We also prove an analogue of Banach's fixed point theorem for all T_1 compact spaces. Applying the analogue of Banach's fixed point theorem we prove the existence of unique attractors for so called contractive iterated function systems whose Hutchinson operators are closed in compact T_1 spaces.The results were obtained together with Michał Morayne in Bulletin des Sciences Mathematiques, vol. 183, (2023). Abstrakt: Omówimy kilka twierdzeń dotyczących operatorów dolnej gęstości. Taki operator dla sigma-ciała zbiorów borelowskich w R modulo zbiory przeliczalne istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi Hipoteza Continuum (wspólny wynik z Sz. Głąbem, 2020). Wiadomo, że klasyczny operator dolnej gęstości dla zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a ma wartości typu F-sigma-delta. Analogiczny operator dla kategorii Baire’a w R, pochodzący od W. Wilczyńskiego, ma również wartości typu F-sigma-delta (wspólny wynik z J. Hejdukiem i A. Wachowiczem, 2023). To udało się nam wykazać dzięki odpowiedniej charakteryzacji (opartej na twierdzeniu E. Łazarow). Definiujemy także odpowiednik tego operatora na przestrzeni Cantora. Praca jest dostępna na ArXiv: https://arxiv.org/abs/2311.11414 Abstrakt: PLIK Abstrakt: W pracy przypomnę krótko wersję teorii Hutchinsona-Barnsleya dla zbiorów rozmytych i przedstawię pewne wersje algorytmu ,,gra w chaos" dla rozmytych układów odwzorowań. W szczególności pokażę, że najbardziej narzucające się próba przeniesienia tego algorytmu z klasycznej wersji nie działa w ogólności. Abstrakt: This paper is inspired by the paper of Leonetti, Ruso and Somaglia [\textit{Dense lineability and spaceability in certain subsets of $\ell_\infty$.} Bull. London Math. Soc., 55: 2283--2303 (2023)] and the lineability problems raised therein. These problems concern the properties of $\ell_\infty$ subsets defined by cluster points of sequences. Using the fact that the set of cluster points of a sequence $x$ depends only on its equivalence class in $\ell_\infty/c_0$ and that the quotient space $\ell_\infty/c_0$ is isometrically isomorphic to $C(\beta\N\setminus\N)$, we are able to translate lineability problems from $\ell_\infty$ to $C(\beta\N\setminus\N)$. We prove that for a compact space $K$ with properties similar to those of $\beta\N\setminus\N$, the sets of continuous functions $f$ in $C(K)$ with $\vert\operatorname{rng}(f)\vert=\omega$ and those $f$ with $\vert\operatorname{rng}(f)\vert=\mathfrak c$ contain, up to zero function, non-separable closed linear spaces. Finally, we prove the ideal version of our results. As a corollary, we obtain the solution of the problem posed by Leonetti, Ruso and Somaglia. Praca jest dostępna na ArXiv: https://arxiv.org/abs/2311.11414 Abstrakt: W referacie podaję wariant twierdzenia Minty-Browdera dotyczący zależności ciągłej rozwiązania od parametrów. Wykorzystując tak sformułowane twierdzenie, badamy rozwiązalność układu równań nieliniowych, w którym łączymy metodę operatorów monotonicznych z wykorzystaniem twierdzenia Schaudera o punkcie stałym. Podajemy związki uzyskanego wyniku egzystencjalnego z twierdzeniem Krasnoselskiego. Abstrakt: Podczas referatu opowiem o prowadzonych obecnie wspólnie z Adamem Kwelą (UG) badaniach dotyczących przykładów baz Schaudera w przestrzeniach \ell_p oraz c_0 ze szczególnym uwzględnieniem własności wykorzystywanych ideałów. Abstrakt: Jedna z najpopularniejszych właściwości transformaty Fouriera głosi, że zamienia ona splot funkcji na mnożenie ich transformat. Ponad dekadę temu Philippe Jaming zauważył, że wspomniana własność (niemalże) charakteryzuje transformatę Fouriera spośród wszystkich liniowych i ograniczonych operatorów (z L1 na Cb). Dowody Jaminga ograniczały się do czterech najpopularniejszych grup abelowych (R, Z, S1 oraz Zn), co sugerowało, że wyniki są wycinkiem bardziej ogólnego zjawiska. Tak jest w istocie! W trakcie referatu wykażę, że istnieje ogólna ''splotowa'' charakteryzacja transformaty Fouriera na dowolnej lokalnie zwartej grupie abelowej. W naturalny sposób owa charakteryzacja obejmuje wszystkie przypadki opisane przez Jaminga. Abstrakt: Podczas referatu opowiem o wybranych klasach zbiorów zwartych związanych z przestrzeniami Banacha, w szczególności będą nas interesować kompakty Eberleina, Valdivii i Gul'ka. Opowiem o charakteryzacji tych klas za pomocą szkieletów retrakcyjnych i rzutowych. Zaprezentuję wykorzystanie tzw. modeli odpowiednich (suitable models) w analizie funkcjonalnej. Referat przygotowałem na podstawie pracy magisterskiej napisanej pod kierunkiem dra Jarosława Swaczyny, która zawiera wyniki m.in. z prac: Correa, C., Cuth, M., and Somaglia, J. (2022). Characterizations of weakly K-analytic and Vasak spaces using projectional skeletons and separable PRI. J. Math. Anal. Appl., 515 (1), 126389. Correa, C., Cuth, M., and Somaglia, J. (2022). Characterization of (semi-)Eberlein compacta using retractional skeletons. Studia Math., 263 (2), 159-198. Kubiś, W. (2009). Banach spaces with projectional skeletons. J. Math. Anal. Appl., 350 (2), 758–776. Abstrakt: PLIK Abstrakt: A set X of reals is null-additive if X+N is Lebesgue null for every Lebesgue null set $N$. We prove an analogue of the Galvin-Mycielski-Solovay Theorem, namely that a set X is null-additive if it satisfies a condition similar to the definition of Borel's strong measure zero, and also an analogue of Besicovitch theorem, namely that X is null-additive if and only if its packing measure is zero for every gauge. We also look at possible extension of the theorems to locally compact Polish groups. Abstrakt: PLIK Abstrakt: W trakcie referatu przypomnimy pojęcie przestrzeni kulowych i koncepcje z nimi związane. Przyjrzymy się różnym sposobom definiowania zbieżności i ciągłości, własnościom przestrzeni przenoszonym przez funkcje kulowo-ciągłe, a także związkom między tymi pojęciami. Na koniec zmienimy nieco tematykę i pokażemy, co wspólnego ma sztuczna inteligencja i twierdzenie Banacha o punkcie stałym, a także w którym kierunku można kontynuować dalsze łączenie tych pozornie skrajnie odległych tematów. Abstrakt: Niech (X; +) będzie grupą abelową. Niech A będzie podzbiorem X. Definiujemy spektrum zbioru A jako: S(A) := {x ∈ X: dla każdego (y ∈ X) y+x ∈ X lub y-x ∈ X}. Pokażemy pewne własności spektrum zbioru oraz jego związki z centrum dystansów oraz zbiorami osiągalnymi szeregów w ℝ2. Abstrakt: PLIK Abstrakt: PLIK Abstrakt: PLIK Abstrakt: PLIK Abstrakt: Podczas referatu przedstawię niedawne wyniki uzyskane wspólnie z K. Ciesielskim, dotyczące autohomeomorfizmów odpowiednich zbiorów Cantora na prostej, dla których pochodna wynosi zero w każdym punkcie. Abstrakt: Charakteryzacja porządkowa (Cantora) zbioru Q opisuje ten zbiór jako zbiór liniowo uporządkowany w sposób gęsty bez elementu najmniejszego i największego. Charakteryzacja topologiczna (Serpińskiego) opisuje ten zbiór jako przestrzeń metryczną przeliczalną bez punktów izolowanych. Ostatnio K. Ciesielski i F.K. Dashiell Jr. zaproponowali krótkie dowody twierdzenia Sierpińskiego. Zamierzam przedstawić ten ostatni dowód. Abstrakt: Przedstawię dowód tego twierdzenia, który mnie zaskakuje, gdyż nie wykorzystuje twierdzenia Baire'a o kategorii. W zamian używa się w pierwszym etapie pewnego ciągu przenormowań przestrzeni oraz twierdzenia Banacha-Steinhausa. Kluczem do drugiej części dowodu jest lemat podający warunek dostateczny na to, by z faktu, że domknięcie pewnego zbioru w przestrzeni Banacha zawiera otwartą kulę jednostkową o środku w zerze, wynikało, że ta kula jest zawarta również w tym zbiorze. Dowód jest kompilacją dowodów kilku innych autorów (głównie Eldredge 2014, Lifshits 1970 i Ptak 1958) przy pewnym wkładzie własnym, co wyjaśnię bliżej na seminarium. Abstrakt: Klasyczne twierdzenia Mycielskiego i Egglestona traktują o wpisywaniu kwadratu postaci PxP, gdzie P jest zbiorem doskonałym lub prostokąta PxB, gdzie P jest zbiorem doskonałym, a B zbiorem 'dużym' w 'duży' zbiór na płaszczyźnie. 'Duży' oznacza zbiór mierzalny miary pełnej lub zbiór rezydualny. Zajmiemy się modyfikacjami tych twierdzeń polegającymi na rozważeniu innych 'dużych' zbiorów oraz specjalnych klas zbiorów doskonałych. Wyniki zostały osiągnięte wspólnie z R. Rałowskim i M. Michalskim. Część z nich znajduje się w pracy "Mycielski among trees" MLQ 2021. Abstrakt: Cardinal invariants of Hausdorff measures have been studied by Fremlin, Ostaszewski, Shelah, Steprans, Elekes and others. We provide a few more results on position of the four main cardinal invariants of Hausdorff measures and also packing measures in the Cichon diagram Abstrakt: Jest to kontynuacja referatu z poprzedniego tygodnia dotyczącego multyplikatywnego równania Sincova: T(f,h) = T(f,g)T(g,h. Podamy opis aproksymatywnych rozwiązań o wartościach w określonych typach algebr Banacha oraz rozwiązań zespolonych. Naszym głównym narzędziem jest transformata Gelfanda, której podstawowe własności omówimy. Podamy też motywację równania Sincova jako rozszerzenie pojęcia funkcji wykładniczej na grupie. Abstrakt: Podczas referatu omówione zostanie multyplikatywne równanie Sincova: S(f,h) = S(f,g)S(g,h) dla odwzorowań o wartościach w algebrach Banacha. Wprowadzimy pojęcie funkcji typu delta-Sincova i podamy ich opis w przypadku półprostych algebr Banacha. Przedstawione wyniki rozszerzają wcześniejsze rezultaty kilku autorów dotyczące funkcji aproksymatywnie wykładniczych. Abstrakt: W czasie referatu przedstawię wyniki prof. K. Ciesielskiego dotyczące istnienia autohomeomorfizmów zbioru Cantora spełniających lokalnie bardzo silne warunki zwężania. Inspiracją dla prowadzenia tych badań jest zaskakująca różnica między zbiorem Cantora a przedziałem - w przypadku funkcji określonej na przedziale pochodna wszędzie równa zero pociąga za sobą stałą wartość funkcji. W przypadku funkcji określonych na zbiorze Cantora sytuacja staje się jednak diametralnie inna. Referat oparty będzie na artykułach:
Abstrakt: Rozważamy skończoną rodzinę F funkcji ciągłych na przestrzeni topologicznej X. Zbiór A nazywamy ścisłym atraktorem, gdy jest niepustym zwartym podzbiorem X, który ma otoczenie U takie, że F^n(S) dąży do A dla dowolnego S niepustego, zwartego podzbioru U. Przykładami takich atraktorów są klasyczne fraktale jak zbiór Cantora czy trójkąt Sierpińskiego, ale również niemierzalne przestrzenie takie jak niemetryzowalna przestrzeń podwójnej strzałki Aleksandrowa. Podczas referatu przytoczę więcej przykładów tego typu oraz kontrprzykładów pokazujących tzw. atraktory punktowe, które nie są ścisłymi.
Abstrakt: Jednym z bardzo ważnych narzędzi odkrytych w ostatnich latach do badania zbiorów osiągalnych jest centrum dystansów. Pokrótce wspomniane zostaną niektóre wnioski wykorzystujące to narzędzie. W lwiej części referatu poruszona zostanie kwestia obliczania centrum dystansów dla zbiorów osiągalnych oraz pewnych ich charakterystycznych podzbiorów ze szczególnych uwzględnieniem kiedy i w którą stronę zachodzi inkluzja dla centrów dystansów wspomnianych zbiorów.
Abstrakt: Gao i Kechris zapytali, czy relacja izometryczności na klasie lokalnie zwartych polskich przestrzeni metrycznych jest borelowsko klasyfikowalna przez modele przeliczalne. W trakcie referatu pokażę w zarysie jak udzielić pozytywnej odpowiedzi na to pytanie używając logiki ciągłej. Wynika ona łatwo z ogólniejszego twierdzenia: dla borelowskich klas lokalnie zwartych polskich struktur metrycznych relacje izomorfizmu są klasyfikowalne przez modele przeliczalne.
Abstrakt: Zaprezentuję twierdzenie o przecięciu dla zstępującego ciągu zbiorów domkniętych, dla których spełniony jest warunek typu wypukłości odnoszący się jednak do całego ciągu, a nie oddzielnie do poszczególnych zbiorów. Pokażę, że z tego rezultatu wynikają łatwo następujące twierdzenia: Smuliana o charakteryzacji przestrzeni refleksywnych, o zbiorze wypukłym w przestrzeni Hilberta i Browdera-Gohdego-Kirka o punktach stałych odwzorowań nieoddalających.
Abstrakt: Podczas referatu zostaną omówione pewne wyniki matematyków węgierskich (głównie Zsolta Palesa i Zoltana Daroczego) dotyczące funkcji, które nie są wypukłe i spełniają pewien warunek regularnościowy. Pojawią się dość zaskakujące wnioski dotyczące charakteryzacji wypukłości pozornie słabszym warunkiem. Spróbujemy też przeanalizować oryginalne rozumowania pod kątem potencjalnych uogólnień lub wzmocnień.
Abstrakt: Podczas referatu przybliżę teorię Hutchinsona-Barnsley'a dla zbiorów rozmytych. W szczególności przedstawię opis rozmytego atraktora przez wykorzystanie odpowiednika przestrzeni kodów i odwzorowania rzutującego dla rozmytych IFS-ów. Wyniki pochodzą z pracy magisterskiej mgr. Kamila Wiśniewskiego, naszego obecnego doktoranta.
Abstrakt: W referacie zostaną przedstawione warunki wystarczające dla otwartości mnożenia w gładkich *-algebrach Banacha, czyli różniczkowych podalgebrach przemiennych C*-algebr. Najprostszym przykładem takich algebr jest przestrzeń (zespolonych) funkcji ciągłych C(X), określonych na zwartej przestrzeni X. Abstrakt: Przypomnę wiele znanych pojęć i faktów z analizy funkcjonalnej, takich jak topologie słaba i *słaba. Powiem, kiedy przestrzeń Banacha ma własność Grothendiecka. Opowiem o tym w jaki sposób z algebry Boole’a generuje się przestrzeń Banacha i o tym, kiedy algebrę możemy nazywać algebrą Grothendiecka. Na koniec przedstawię przykład algebry, która miała szansę na to, by zostać algebrą Grothendiecka. Abstrakt: Granicą Banacha nazywamy każdy funkcjonał liniowy L określony na przestrzeni ciągów ograniczonych, który spełnia następujące warunki: 1. Jeśli ciąg x ma wszystkie wyrazy nieujemne, to L(x) >= 0; 2. L((x1,x2,...))=L((x2,x3,...)) dla dow. ciągu (x1,x2,...) 3. L((1,1,...)) = 1. Ciąg, na którym wszystkie granice Banacha mają tę samą wartość, nazywamy prawie zbieżnym. Rozważymy następujące rodziny ciągów ograniczonych: c - rodzina ciągów zbieżnych, c^ - rodzina ciągów prawie zbieżnych, S - rodzina ciągów, dla których ciąg kolejnych jego średnich arytmetycznych jest zbieżny. Wiadomo, że c zawiera się w c^, a c^ zawiera się w S. Zbadamy, jak duża jest rodzina c w c^, c^ w S i S w przestrzeni ciągów ograniczonych. Zrobimy to z trzech punktów widzenia: porowatości, algebraizowalności i miary. Wyniki pochodzą z pracy: https://arxiv.org/abs/2208.05904 Abstrakt: Referat dotyczy pewnych równań operatorowych w przestrzeni funkcji k-krotnie różniczkowanych. Został zainspirowany rozważaniami H. Königa i V. Milmana opisanymi w monografii z 2018 roku [1]. Nasze badania obejmują operatory addytywne spełniające reguły Leibniza. Rezultatem naszej pracy (wspólnej z dr hab. Włodzimierzem Fechnerem) są pewne charakteryzacje pochodnej. Dowodzimy, że w klasie operatorów addytywnych pewne relatywnie słabe warunki implikują, że rozważany operator jest równy pochodnej lub iloczynowi pochodnej i pewnej funkcji. Ponadto, podamy przykłady ilustrujące istotność głównych założeń.
[1] KÖNIG H., MILMAN V., Operator Relations Characterizing Derivatives, Springer, 2018. Abstrakt: By the famous Galvin-Mycielski-Solovay theorem a set of reals has strong measure zero if and only if its algebraic sum with any meager set does not cover the line. This lead to the notion of a meager-additive set: a set is meager additive if its sum with andy meager set is meager. We address the following problem: is there a Galvin-Mycielski-Solovay-like characterization of meager-additive sets in terms of covers, analogous to the Borel’s definition of strong measure zero? For reals, with some effort, the problem can be solved with the aid of Shelah’s combinatorail characterization of meager-additive sets. However, for a Polish group the problem is even much harder. Abstrakt:
W 1998 r. Laczkovich udowodnił, że każdą właściwą podgrupę analityczną w zbiorze liczb rzeczywistych można pokryć przeliczalną sumą domkniętych zbiorów miary zero. Przedstawię następujące uogólnienie tego faktu (uzyskane wspólnie z I. Banakh i T. Banakhem): Abstrakt: PLIK Abstrakt: Iniektywne przestrzenie Banacha to dokładnie te przestrzenie dla których działa twierdzenie Hahna-Banacha z tą różnicą, że zamiast dla funkcjonałów to dla dowolnych operatorów liniowych o wartościach w tych przestrzeniach. Sztandarowym przykładem przestrzeni iniektywnej jest przestrzeń \ell_\inty a także każdy drugi dual przestrzeni funkcji ciągłych na przestrzeni zwartej. Jeżeli rozważymy multyplikatywny czynnik λ jednostajnie kontrolujący normę takiego rozszerzenia danego operatora z podprzestrzeni na przestrzeń, to możemy w naturalny sposób mówić o przestrzeniach λ-iniektywnych. Isbell i Semadeni w swojej pracy z 1968 zaanonsowali, że Pełczyński wykazał, że dla każdego λ > 1 istnieje przestrzeń, która jest (λ+)-iniektywna, ale nie jest λ-iniektywna. Niestety nie zachował się żaden ślad po dowodzie tego twierdzenia. Uzasadnimy, że istotnie dla λ z przedziału (1,2] można znaleźć hiperpłaszczyznę w \ell_\infty która jest (λ +)-iniektywna, ale nie jest λ-iniektywna. Praca wspólna z G. Lewickim (Studia Math. 2022+). Abstrakt: PLIK Abstrakt: PLIK Abstrakt: Referat dotyczyć będzie nierówności, która pojawiła się w artykule:
Horst Alzer, Luis Salinas, On the functional inequality f(x)f(y) - f(xy) <= f (x) + f (y) - f(x+y), Comp. Methods and Funct. Theory (2020), 20: 623--627. Abstrakt: Niech C(lambda) oznacza centralny zbiór Cantora generowany przez ciąg lambda o wyrazach z przedziału (0,1/2). Wiadomo, że różnica algebraiczna C(lambda)-C(lambda) może mieć jedną z trzech postaci: skończonej sumy przedziałów domkniętych, zbioru Cantora lub Cantorvala. Główny wynik podaje warunek wystarczający na to, by zbiór C(lambda)-C(lambda) był Cantorvalem. Abstrakt: Jest to kontynuacja tematu, który referowałem w poprzednim semestrze. Tym razem przedstawię wpierw uproszczoną wersję kryterium zwartości w przestrzeni metrycznej i w oparciu o nią podam kolejny dowód twierdzenia Ascoliego-Arzeli używając tym razem funkcji kawałkami liniowych (zamiast wielomianów Bernsteina). W części drugiej referatu zaprezentuję prosty dowód uogólnienia twierdzenia Hausdorffa o epsilon-sieci dla regularnych przestrzeni semimetrycznych, uzyskanego w tym roku przez M. Kocsisa i Zs. Palesa.
Abstrakt: Przedstawię m.in. konstrukcję funkcji klasy C-nieskończoność na [0,1], dla której zbiór zer i zbiór punktów przecinania z osią 0X pokrywa się z zadanym zbiorem domkniętym. Jest to referat, który miał być wygłoszony na konferencji związanej z 50-leciem Instytutu Matematyki PŁ odwołanej z powodu epidemii Covid. Abstrakt: PLIK Abstrakt: Kontynuując referat z grudnia, przedstawię wyniki dotyczące ciągłości funkcjonałów współrzędnych dla ideałowych baz Schaudera. Wyniki pochodzą ze stycznia br. i pozostają prawdziwe w ZFC dla ideałów analitycznych, zaś dla wyższych klas projektywnych zostały uzyskane niesprzecznie. Przedstawione wyniki zostały uzyskane wspólnie z Tomaszem Kanią oraz Noem de Rancourt. Abstrakt: PLIK Abstrakt: Dla dwóch miar na prostej, \mu i \nu powiemy, że \mu<\nu
w porządku wypukłym, gdy dla każdej funkcji wypukłej
f: R->R całka z f względem \mu jest mniejsza lub równa
od całki z f względem \nu (o ile obie całki istnieją). Porządek ten
ma istotne znaczenie w teorii prawdopodobieństwa i w teorii ryzyka.
Przedstawię pewne własności tego porządku i jego uogólnień,
w szczególności własności związane z nierównościami między
splotami miar. Zagadnienia te mają związek z rozstrzygniętą
kilka lat temu hipotezą I. Rasy dotyczącą pewnych nierówności
funkcyjnych związanych z wielomianami Bernsteina. Abstrakt: Omówione zostaną niektóre wyniki uzyskane wspólnie z Prof. Zsoltem Palesem, dotyczące próby przeniesienia pojęcia wypukłości wraz z niektórymi narzędziami tej teorii na zbiory bez struktury liniowej. W szczególności, przedstawię uzyskane uogólnienie twierdzenia Radstroma oraz wersję formuły sumacyjnej C. Neumanna. Praca zawierająca prezentowane rezultaty została opublikowana w Forum Mathematicum (2020), a preprint jest dostępny w bazie arXiv: Abstrakt: PLIK Abstrakt: Przedstawię pojęcie zbioru magicznego oraz dowód jego istnienia w pewnym modelu teorii mnogości. Przypomnę pojęcia: rodziny niezależnej, rodziny prawie rozłącznej, zasadę karo oraz twierdzenie Fichtencholza-Kantorowicza, a następnie odpowiem na pytanie "czy zbiory magiczne mogą tworzyć którąś z wyżej wymienionych rodzin?".
Abstrakt: Mając ustalony ideał podzbiorów liczb naturalnych I możemy rozważyć pojęcie I bazy Schaudera. Konkretniej, powiemy że ciąg wektorów (x_n) jest I-bazą Schaudera gdy dla każdego x istnieje dokładnie jeden taki ciąg skalarów (\alpha_n), że szereg \sum \alpha_n x_n jest I-zbieżny do X. W 2011 roku Kadets zapytał o ciągłość projekcji stowarzyszonych z takimi bazami dla ideału zbiorów gęstości zero. Podczas swojego referatu opowiem o problemach na jakie napotykamy próbując skopiować dowód z przypadku klasycznych baz Schaudera, oraz o pozytywnej odpowiedzi na pytanie Kadetsa uzyskanej przy założeniu istnienia pewnych dużych liczb kardynalnych. Jeśli czas pozwoli, opowiem nieco więcej o pracy Godefroy-Saint Reymonda dotyczącej przestrzeni uniwersalnej ośrodkowych przestrzeni Banacha, która była jednym z istotnych narzędzi wykorzystanych w głównym dowodzie, a także o planach na przyszłość. Przedstawione wyniki zostały uzyskane wspólnie z Tomaszem Kanią.
Abstrakt: W ostatnim czasie Zarichnyj pokazał, że kontraktywne IFS-y generują jedyne niezmiennicze tzw. miary idempotentne. Jego dowód był czysto topologiczny. Zaprezentuję alternatywne dowody istnienia tych miar wykorzystując zwężanie operatora Markowa dla miar niezmienniczych względem odpowiednio zdefiniowanych metryk na przestrzeni miar idempotentnych.
Abstrakt: Podstawą referatu jest artykuł (obecnie na etapie recenzji) dostępny na Arxivie: https://arxiv.org/abs/2110.00848
Abstrakt: Przedstawię ogólne kryterium całkowitej ograniczoności zbioru w przestrzeni metrycznej i jego wersję dla przestrzeni Banacha - występujący w niej warunek okazuje się być nieliniową wersją tzw. własności zwartej aproksymacji (`compact approximation property'). Następnie wyprowadzę stąd tytułowe twierdzenie o testowaniu zwartości (sformułowane bez dowodu na moim poprzednim referacie) i pokażę jak z jego pomocą można łatwo udowodnić klasyczną wersję twierdzenia Ascolego-Arzeli.
Abstrakt: Podstawą referatu jest artykuł (obecnie na etapie recenzji) dostępny na Arxivie: https://arxiv.org/abs/2107.01587
Abstrakt: Dla funkcji f z przestrzeni C[0,1] zbiór E(f) przecinający oś OX składa się z takich punktów x
przedziału [0,1], że f(x)=0 oraz w każdym otoczeniu punktu x są punkty y, z takie, że f(y)<0 oraz f(z)>0.
O. Zabeti (2016) pokazał przykłady funkcji f ciągłych (a nawet klasy C^\infty[0,1]), dla których E(f) zawiera zbiór Cantora miary dodatniej. Uogólniamy nieco te wyniki. Zauważamy, że dla każdej funkcji f z przestrzeni C[0,1]
zbiór E(f) jest domknięty nigdzie gęsty oraz jeśli x=0 lub x=1 należy do E(f), to x jest punktem skupienia zbioru E(f).
Główny wynik pokazuje, że każdy zbiór domknięty o tych własnościach jest postaci C(f) dla pewnej funkcji klasy C^\infty [0,1].
Abstrakt: Dowody kryteriów zwartości w przestrzeniach c0 i lp wykazują pewne podobieństwa, co może sugerować, że istnieją ogólniejsze twierdzenia, z których te kryteria można wywnioskować. Moim celem było odkrycie takich, możliwie prostych rezultatów, by wzbogacić nimi pracę dyplomową mojego magistranta. Jak się potem okazało (czego spodziewałem się od samego początku), takie wyniki są znane w literaturze, chociaż nie było łatwo do nich dotrzeć. Mój końcowy wynik (w pracy magisterskiej jest zamieszczona jego wcześniejsza wersja) okazał się być podobny do rezultatu z monografii V. Kadetsa, przy czym formalnie jest ogólniejszy. Temat wymaga dalszych badań, chociaż jest ryzykowny ze względu na możliwość zdublowania istniejących już wyników innych autorów.
Referat stanowi kontynuację referatu z poprzedniego tygodnia. Abstrakt: Podzbiór przestrzeni polskiej Abstrakt: We study the inverse Fraïssé limit for finite posets. Using duality for finite posets and lattices, we study connections between Fraïssé inverse sequences and inverse limit for posets and lattices. Abstrakt: Ideal convergence is natural generalization of usual convergence. Many convergence properties can be easily rewritten for ideal convergence. However, not every. It is well-known that any subsequence of convergent sequence and any its permutation are convergent as well. Ideal convergence does not have those properties. I will show that they are heavily violated for any meager ideal containing infinite sets, that is ideal different from that of finite sets. I will discuss the role of ideal meagerness assumption in our results. This is a joint work with Marek Balcerzak and Paolo Leonetti which is still in progress. Abstrakt: We discuss a model of a n-person, non-cooperative stochastic game, inspired by the discrete version of the red-and-black gambling problem introduced by Dubins and Savage in 1965. Our main theorem generalizes a result of Pontiggia from 2007 which provides conditions upon which bold strategies for all players form a Nash equilibrium. Our tool is a functional inequality, which will be discussed during the talk. It allows us to avoid restrictive assumptions of supermultiplicativity and superadditivity, which appear in Pontiggia' and other author works. We terminate the talk with some examples and a numerical simulation. Abstrakt: In 2002 A. Csaszar introduced the notion of generalized topology, which differs from the notion of topology by the lack of the intersection property. Many kinds of generalized continuity may be considered as a continuity in a generalized topology, for example quasicontinuity, precontinuity, porouscontinuity, qualitative continuity, Denjoy property. I give full characterization of set of points of generalized continuity for functions $f\colon (X, \Gamma) \to(Y, \tau)$, where $(X, \Gamma)$ is a resolvable generalized topological space and $(Y, \tau)$ is a nondiscrete Moore space. I will generalize classical result stated that sets of continuity points of functions between topological spaces (under some weak assumption about topologies) are exactly $G_\delta$ sets and result of Lipiński and Salat which characterizes sets of points of quasicontinuity. Moreover, I characterize sets of points of generalized continuity in terms of an associated topology an I show a special role of quasicontinuity in the family of all generalized topologies connected with given topology. Abstrakt: PLIK Abstrakt: We say that a space X is FinBW(I) (I is an ideal on the set of natural numbers), if for each sequence (x_n) in X one can find a set A not belonging to I such that (x_n)_{n\in A} converges in X. Thus, the classical Bolzano-Weierstrass theorem states that every compact subset of the real line is FinBW(Fin) (Fin is the ideal of all finite subsets of naturals). During my talk I will present new results concerning FinBW(I) spaces and discuss relationship between the studied notions and the Katetov order on ideals. In particular, under MA I will characterize for all Pi^0_4 ideals when FinBW(I) and FinBW(J) differ. Abstrakt: We identify the family CS of central Cantor subsets of [0,1] with the Polish space X:=(0,1)^N equipped with the probabilility product measure. We investigate the size of the family P_0 of sets in CS with packing dimension zero. We show that P_0 is meager and of measure zero while is treated as the corresponding subset of X. We also check possible inclusions between P0 and other subfamilies of CS consisting of small sets. Abstrakt: Kontynuujemy tematykę twierdzenia Oliviera, które mówi: "jeśli ciąg (a_n) należy do przestrzeni l_1 i jest monotoniczny, to ciąg (n*a_n) dąży do zera". Na referacie przyjrzymy się topologicznym własnościom podzbioru przestrzeni ciągów l_1, które spełniają tezę twierdzenia Oliviera. Ponadto udowodnimy uogólnienie twierdzenia Oliviera. Abstrakt: Klasyczne (1827 sic!) twierdzenie Oliviera głosi, że jeśli ciąg (a(n)) jest sumowalny i monotoniczny to ciąg (na(n)) dąży do zera. W referacie przedstawimy daleko idące uogólnienie tego twierdzenia, rezygnując za Salatem i Tomą z monotoniczności ciągu (a(n)) i zastępując zbieżność zbieżnością ideałową. Ponadto rozważamy algebraiczne własności podzbioru AOS przestrzeni l-1 zdefiniowanego w następujący sposób: AOS= { (a(n): na(n) nie dąży do zera}. Badamy również pewne podzbiory tego zbioru. Abstrakt: During my talk I will define the Wijsman Topology and discuss its basic properties. In the second, shorter part I will briefly discuss some recent results about universal spaces. Depending on time I will try to tell something about connecting those topics in my current work with T. Kania. Abstrakt: Having family of contractive iterated function systems F_t, depending continuous on the real parameter t, it is a natura question on the limit behavior of families of their attractors. During my talk I Will discuss certain aspects of this topic.
Abstrakt: Pojęcie rodziny funkcji jednakowo pierwsze klasy Borela (Baire'a) wprowadzili Lecomte (2003) oraz Alikhani_Koopaei (2020). Zostaną pokazane nowe własności takich rodzin. Są to wyniki wspólne z Oleną Karlovą i Piotrem Szucą.
Abstrakt: PLIK Abstrakt: PLIK Abstrakt: Referat będzie składał się z dwóch powiązanych ze sobą sekcji -- teoretycznej i praktycznej. W trakcie pierwszej części przyjrzymy się zagadnieniom związanym z generowaniem semimetryki na produkcie przestrzeni semimetrycznych. Przedstawiona zostanie część wyników i przykładów z pracy pt. "On functions preserving products of certain classes of semimetric spaces" napisanej wspólnie z Piotrem Nowakowskim i Mateuszem Lichmanem. W drugiej części skupimy się na praktycznym zastosowaniu funkcji generujących funkcje typu odległości na produkcie przestrzeni w podejmowaniu decyzji wielokryterialnych. Wykorzystanie algorytmu TOPSIS (Technique for Order of Preference by Similarity to Ideal Solution) pozwoli nam pokazać jak odpowiedni dobór funkcji generującej semimetrykę na produkcie wpływa na generowane przez algorytm rekomendacje. Analizy praktyczne, które mam nadzieję zaprezentować są efektem współpracy z Jerzym Kiryczukiem (absolwentem Informatyki na wydziale FTIMS). Abstrakt: Pierwsza część referatu będzie krótkim omówieniem podstaw teorii reprezentacji skończonych grup. Następnie opiszemy nieredukowalne reprezentacje grupy symetrycznej S_N za pomocą partycji liczby N. Abstrakt: Referat dotyczy nierówności Cauchy'ego-Schwarz'a i spokrewnionych z nią nierówności: Grama, Bessela, Gr\"ussa, Hadamarda i nierówności trójkąta. Przedstawionych zostanie kilka nowych wersji odwrotnej nierówności Cauchy'ego-Schwarz'a. W konsekwencji otrzymamy nowe postaci nierówności typu Gr\"ussa, odwrotnej nierówności Bessela, odwrotnej nierówności trójkąta i udoskonalenie nierówności Hadamarda. Abstrakt: Sfera nieskończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej nie jest zwarta z powodu zawierania ciągu, którego wyrazy są od siebie w odległości co najmniej δ przy 0 < δ < 1. Pojawiają się zatem dwa zasadnicze pytania: jak duże może być δ (oczywiście nie może przekraczać 2) oraz w przypadku przestrzeni nieośrodkowych, jak liczne mogą być zbiory δ-odseparowane na sferze gdy δ > 1. Celem referatu będzie zaprezentowanie przekroju wyników na ten temat z ostatnich 4 lat ze szczególnym uwzględnieniem prac z P. Hájkiem i T. Russo (JFA2018, TAMS2020).
K. Ciesielski, J. Jasinski, An auto-homeomorphism of a Cantor set with derivative zero everywhere, J. Math. Anal. Appl. 434 (2016) 1267–1280
K. Ciesielski (2018) Monsters in Calculus, The American Mathematical Monthly, 125:8, 739-74
We also solve a problem of Marion Scheepers: characterize in terms of covers the sets whose all finite products have strong measure zero.
W lokalnie zwartej grupie topologicznej Hausdorffa każdą podgrupę K-analityczną o pustym wnętrzu można pokryć przeliczalną sumą domkniętych zbiorów miary Haara zero.
Autorzy badają w nim pewną nierówność funkcyjną pod dość restrykcyjnymi założeniami. Podczas referatu będą udowodnione dwa wyniki, które poprawiają rezultaty Alzera i Salinasa.
Podamy związek tego twierdzenia z teorią zbiorów osiągalnych dla pewnych szeregów szybko zbieżnych. Wyniki pochodzą ze wspólnej pracy z dr. hab. Tomaszem Filipczakiem, której preprint można znaleźć na Arxivie: https://arxiv.org/abs/2003.04214
Pokażę, że zbiór funkcji ciągłych o wahaniu skończonym jest sigma-porowaty w C[0,1].
Są to wyniki wspólne z P. Nowakowskim i M. Popławskim z pracy przyjętej do druku w Indagationes Math.
nazywamy analitycznym (klasy 
), jeśli jest rzutem borelowskiego podzbioru przestrzeni 
. Zbiory koanalityczne (klasy 
) to dopełnienia zbiorów analitycznych. Rzuty zbiorów koanalitycznych to zbiory klasy 
, dopełnienia tych ostatnich tworzą klasę 
itd. W ten sposób otrzymujemy przeliczalną i ściśle rosnącą hierarchię zbiorów rzutowych. Wszystkie podzbiory prostej, które potrafimy sobie wyobrazić, są borelowskie. Wobec tego zbiory rzutowe wydają się mocno abstrakcyjne. Okazuje się jednak, że mogą mieć proste definicje, które wykorzystują jedynie nietrudne pojęcia z analizy i topologii. W pierwszej części referatu wprowadzimy podstawowe pojęcia z deskryptywnej teorii mnogości. Następnie podamy kilkanaście przykładów zbiorów różnych klas rzutowych i zbadamy dokładniej dwa z nich. W drugiej części referatu, zaplanowanej na kolejny tydzień, przedstawimy nieopublikowane wyniki W. H. Woodina dotyczące zbiorów funkcji spełniających tezę twierdzenia o wartości średniej oraz spełniających tezę twierdzenia Rolle'a.
I also present some properties of set of points of path continuity with respect to $(\Gamma, T)$ for functions $f\colon(X, \Gamma) \to (Y, \varrho)$, where $(X, \Gamma)$ is a generalized topological space, $\mathcal T$ is a topology associated with $\Gamma$ and $(Y, \varrho)$ is a nondiscrete metric space. Some relevant properties of continuity, quasicontinuity and path continuity are discussed.
It is a common work with Małgorzata Turowska.
The talk will be given in Polish.
The talk will be given in Polish.
The talk will be given in Polish.
W drugiej części referatu postaramy się odpowiedzieć na pytanie jak wygląda typowa nieredukowalna reprezentacja S_N wylosowana zgodnie z rozkładem Plancherela.
W szczególności odpowiemy na pytanie: "Jaka jest typowa długość najdłuższego podciągu rosnącego w losowej permutacji z S_N?".
W trzeciej części referatu przedstawię wybrane wyniki uzyskane wspólnie z prof. Piotrem Śniadym (moim opiekunem doktoratu).
Nierówności tego typu odgrywają ważną rolę we współczesnej matematyce wraz z licznymi zastosowaniami do analizy nieliniowej, aproksymacji i teorii optymalizacji, w szczególności optymalizacji inżynierskiej, analizy numerycznej, rachunku prawdopodobieństwa, statystyki, fizyki teoretycznej i do innych dziedzin.
Nowe wersje klasycznych nierówności stymulują również dalszy rozwój bardziej ogólnej teorii równań i nierówności funkcyjnych.